2024 年考研数学（一） 第 13 题

先辨认这是余弦级数（偶延拓），套系数公式积分求 $a_n$——分部积分后 ${\int }_0^{\pi }x\cos nxdx=\frac{(-1{)}^n-1}{n^2}$。取奇数下标时 $(-1{)}^n-1=-2$ 使 $a_{2n-1}\sim 1/n^2$，正好抵消外面的 $n^2$；再借 $\sin a\sim a$ 去掉三角壳，极限落到 $-1/\pi$。

本题考查傅里叶系数的计算。 该展开式为余弦级数，即把 $f(x)=x+1$ 作偶延拓。由余弦级数系数公式，当 $n\ge 1$ 时
$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }(x+1)\cos nxdx.$$

计算得 ${\int }_0^{\pi }\cos nxdx=0$，${\int }_0^{\pi }x\cos nxdx=\frac{(-1{)}^n-1}{n^2}$，故
$$a_n=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{(-1{)}^n-1}{n^2}=\frac{2}{n^2\pi }[(-1{)}^n-1].$$

于是 $a_{2n-1}=\frac{2}{(2n-1{)}^2\pi }(-1-1)=\frac{-4}{(2n-1{)}^2\pi }$。当 $n\to \infty$ 时 $a_{2n-1}\to 0$，$\sin a_{2n-1}\sim a_{2n-1}$，故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\sin a_{2n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\cdot \frac{-4}{(2n-1{)}^2\pi }=-\frac{1}{\pi }.$$