2024 年考研数学（一） 第 14 题

方程既非线性也非齐次，但右端是 $x+y$ 的函数，这类 $y^{\prime }=g(x+y)$ 标准换元 $u=x+y$ 一步化成可分离变量。换元后 $u^{\prime }=1+1/u^2=\frac{u^2+1}{u^2}$，分离时把被积式拆成 $1-\frac{1}{1+u^2}$ 便于积出 $u-\arctan u$；代入初值 $u(1)=1$ 定常数即可。

本题考查一阶微分方程求解。 该方程非一阶线性方程，考虑换元。令 $u=x+y$，则 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1+y^{\prime }=1+\frac{1}{u^2}=\frac{u^2+1}{u^2}$，化为可分离变量方程。

分离变量：$\left(1-\frac{1}{1+u^2}\right)\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$，两端积分得 $u-\arctan u=x+C$。

由 $y(1)=0$ 得 $u(1)=1$，代入得 $1-\frac{\pi }{4}=1+C$，即 $C=-\frac{\pi }{4}$。回代 $u=x+y$：
$$y-\arctan (x+y)+\frac{\pi }{4}=0.$$