2024 年考研数学（一） 第 15 题

把陌生不等式对号入座：$({\alpha }^{\mathrm{T}}A\beta {)}^2\le ({\alpha }^{\mathrm{T}}A\alpha )({\beta }^{\mathrm{T}}A\beta )$ 正是以 $A$ 为度量的柯西不等式，它恒成立的充要条件是 $A$ 半正定（半负定时取 $\alpha =\beta$ 得右端为负，矛盾）。于是问题化为“$A$ 半正定”，用主子式非负 $a+1\ge 0,a\ge 0,\det A=a\ge 0$ 立得 $a\ge 0$。

本题考查矩阵运算与二次型（半正定性）。 $A$ 是实对称矩阵，所给不等式即柯西（Cauchy-Schwarz）不等式的形式。

必要性。 由于 $({\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\beta }{)}^2\ge 0$ 恒成立，故右端 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\alpha }$ 与 ${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\beta }$ 不能异号，即二次型 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{x}$ 必半正定或半负定。若 $A$ 半负定，则 $-A$ 半正定，需 $-(a+1)\ge 0$ 且 $-a\ge 0$ 且 $\det (-A)=a\ge 0$，无解。故 $A$ 半正定。

$A$ 半正定当且仅当各阶主子式非负：$a+1\ge 0$，$a\ge 0$，$\det A=(a+1)a-a^2=a\ge 0$，即 $a\ge 0$。

充分性。 当 $A$ 半正定时，可令 $C=\sqrt{A}$，则 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\beta }=(C\mathbf{\alpha })\cdot (C\mathbf{\beta })$，而 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\alpha },{\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\beta }$ 是两向量模长的平方，由向量形式的柯西不等式知原不等式成立。

因此 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty )$。