2024 年考研数学（一） 第 16 题

“在 A 条件下 B”直接写条件概率 $\frac{P(AB)}{P(A)}$，这里 $AB=\{X=3\}$（三次全成功已含“至少一次”）。分母 $1-(1-p{)}^3$ 可因式分解出 $p$，与分子 $p^3$ 约去一个 $p$ 后降为二次方程，再用概率范围 $0<p<1$ 舍去负根。

本题考查条件概率与二项分布。 设 $X$ 为 $3$ 次试验中成功的次数，则 $X\sim B(3,p)$。在至少成功 $1$ 次的条件下 $3$ 次全部成功的概率为
$$P\{X=3\mid X\ge 1\}=\frac{P\{X=3\}}{P\{X\ge 1\}}=\frac{p^3}{1-(1-p{)}^3}=\frac{4}{13}.$$

由 $1-(1-p{)}^3=p(3-3p+p^2)$，上式化为 $\frac{p^2}{3-3p+p^2}=\frac{4}{13}$，整理得
$$3p^2+4p-4=0,(3p-2)(p+2)=0.$$

由 $p>0$ 得 $p=\frac{2}{3}$。