2024 年考研数学（一） 第 8 题

看到“独立正态的线性组合”就用正态封闭性，把两边事件都化成标准正态的 $\Phi$ 值。关键是把 $P\{X>Y\}$ 移项成 $P\{X-Y>0\}$ 再标准化；两个 $\Phi$ 相等且 $\Phi$ 单调，标准化后的宗量必相等，解一次方程得 $a$。易错点是方差组合的系数要平方（$D(2X)=4D(X)$）。

本题考查正态分布的性质及相关概率计算。 相互独立的正态变量的线性组合仍服从正态分布。这里 $E(X)=0,D(X)=2,E(Y)=-2,D(Y)=2$。

$2X+Y$：$E(2X+Y)=-2$，$D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4\times 2+2=10$，故 $2X+Y\sim N(-2,10)$。

$X-Y$：$E(X-Y)=0-(-2)=2$，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)=4$，故 $X-Y\sim N(2,4)$。

于是
$$P\{2X+Y<a\}=\Phi \left(\frac{a+2}{\sqrt{10}}\right),P\{X>Y\}=P\{X-Y>0\}=P\left\{\frac{(X-Y)-2}{2}>-1\right\}=\Phi (1).$$

由 $\Phi \left(\frac{a+2}{\sqrt{10}}\right)=\Phi (1)$ 及 $\Phi$ 单调增，得 $\frac{a+2}{\sqrt{10}}=1$，即 $a=-2+\sqrt{10}$。应选 B。