2024 年考研数学（一） 第 7 题

秩为 $2$ 的三阶矩阵必有零特征值，$A\alpha =0$ 正点明 $\alpha$ 属于特征值 $0$。与 $\alpha$ 正交的向量组成二维子空间，上面 $A\beta =\beta$ 说明特征值 $1$ 至少两重，凑够三个无关特征向量便定下谱 $\{0,1,1\}$。知道特征值后，$A^2,A^3$ 的迹只是把每个特征值乘方再求和，$0$ 的幂仍为 $0$，故两者迹都为 $2$。

本题考查矩阵的特征值与迹。 矩阵的迹等于其全体特征值之和，故先求 $A$ 的特征值。

由 $A\mathbf{\alpha }=0$（$\mathbf{\alpha }\ne 0$）知，$\mathbf{\alpha }$ 是 $A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。

满足 ${\mathbf{\beta }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=0$ 即 ${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }=0$ 的解空间是 $2$ 维的，故存在两个线性无关的向量 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 满足 ${\mathbf{\beta }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{\alpha }=0$，从而 $A{\mathbf{\beta }}_i={\mathbf{\beta }}_i$，即它们是 $A$ 属于特征值 $1$ 的两个线性无关特征向量。

于是 $\mathbf{\alpha },{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 是 $A$ 的 $3$ 个线性无关特征向量，$A$ 的特征值为 $1,1,0$。故 $A^2,A^3$ 的特征值均为 $1,1,0$，$\mathrm{tr}(A^2)=\mathrm{tr}(A^3)=1+1+0=2$。应选 A。