2024 年考研数学（一） 第 6 题

“整体线性相关”给出秩 $\le 2$，“任意两个无关”给出秩 $\ge 2$，合起来秩恰为 $2$——这一步把抽象的相关性化成“所有三阶子式为零”的可算条件。取一个三阶子式为零解出 $a$ 会得到多个候选，此时“任意两个无关”不仅用于定秩，还用于排除让 ${\alpha }_1={\alpha }_3$ 之类的伪根；剩下的 $a$ 再代另一子式定 $b$。

本题考查向量组线性相关与线性无关的概念。 由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关得 $r({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\le 2$；由任意两个向量线性无关得 $r\ge 2$。故 $r=2$，即矩阵 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 的任意 $3$ 阶子式均为 $0$。

取第 $1,2,4$ 行构成的子式：
$$\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& 1& a\\ 1& a& 1\end{array}\right|=-(a+2)(a-1{)}^2=0,$$
得 $a=-2$ 或 $a=1$。当 $a=1$ 时 ${\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\alpha }}_3$（二者线性相关），不符合题意，故 $a=-2$。

将 $a=-2$ 代入，取第 $1,2,3$ 行构成的子式：
$$\left|\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& 1& -2\\ -1& b& -1\end{array}\right|=6-3b=0,$$
解得 $b=2$。因此 $a=-2,b=2$，应选 D。