2024 年考研数学（一） 第 5 题

关键是把几何语言翻译成代数：三平面对应三元线性方程组，公共交线对应解集为一维直线。“有公共交线”说明相容且解一维，故 $r(A)=r(\bar{A})<3$；“互不平行”说明任两法向量无关，故秩 $\ge 2$。两头一夹就锁定 $m=n=2$，无需真解方程组。

本题考查空间平面位置关系与线性方程组解的对应。 联立三平面方程得线性方程组，其系数矩阵的行向量为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$，增广矩阵的行向量为 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$。

由图，三平面相交于同一条直线，方程组有无穷多解，故
$$r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1\\ {\mathbf{\alpha }}_2\\ {\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\beta }}_1\\ {\mathbf{\beta }}_2\\ {\mathbf{\beta }}_3\end{array}\right)<3.$$

又三平面互不平行，其法向量两两线性无关，故 $r\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1\\ {\mathbf{\alpha }}_2\\ {\mathbf{\alpha }}_3\end{array}\right)\ge 2$。因此 $m=n=2$，应选 B。