2024 年考研数学（一） 第 4 题

这是概念辨析题，陷阱在于极限存在不等于函数值等于该极限（缺“连续”条件）。破题思路：凡能由“可导必连续”从条件推出结论的选项就是对的（由此 $f(0)=0$ 再套导数定义），推不出的用分段函数反例击破。看清“$f^{\prime }(0)$ 存在”与“$\lim f^{\prime }(x)$ 存在”的区别，是排除 C、D 的钥匙。

本题考查导数以及导函数连续的概念。 题目没有给 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续的条件，$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ 仅保证极限存在，未必有 $f(0)=0$。

（B）正确。 若 $f^{\prime }(0)=m$ 存在，则 $f$ 在 $x=0$ 可导必连续，从而 $f(0)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。由导数定义
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)=m.$$

（A）（C）错误。 取 $f(x)=\{\begin{array}{ll}mx,& x\ne 0,\\ 1,& x=0,\end{array}$ 则 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=m$，$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=m$，但 $f$ 在 $x=0$ 不连续，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

（D）错误。 取 $f(x)=\{\begin{array}{ll}mx+x^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0,\end{array}$ 则 $f^{\prime }(0)=m$，但当 $x\ne 0$ 时 $f^{\prime }(x)=m+2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$，$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 不存在。

综上，应选 B。