2024 年考研数学（一） 第 3 题

题目给“和函数”反过来求系数，等价于把 $\ln (2+x)$ 做麦克劳林展开——关键第一步是提出常数 $\ln 2$、凑成 $\ln (1+\frac{x}{2})$ 套用已知展开 $\ln (1+t)=\sum (-1{)}^{n-1}{t}^n/n$。得到 $a_{2n}$ 后代进 $\sum n{a}_{2n}$，$n$ 与分母 $2n$ 相约，级数塌缩成等比级数，用公式求和即可。

本题考查函数的幂级数展开。 $a_{2n}$ 是 $\ln (2+x)$ 的麦克劳林级数中 $x^{2n}$ 的系数。

由 $\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$ 可得
$$\ln (2+x)=\ln \left[2\right(1+\frac{x}{2}\left)\right]=\ln 2+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n{2}^n}{x}^n.$$
于是当 $n>0$ 时，$a_{2n}=\frac{(-1{)}^{2n-1}}{2n\cdot 2^{2n}}=-\frac{1}{2n\cdot 4^n}$。

因此
$$\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_{2n}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot \left(-\frac{1}{2n\cdot 4^n}\right)=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1/4}{1-1/4}=-\frac{1}{6}.$$
应选 A。