2024 年考研数学（一） 第 2 题

两类曲面积分互化的通法是“合一投影”：把 $dydz,dzdx$ 全部化到同一个 $dxdy$ 上。核心是写出上侧曲面的法向量 $(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)$，于是 $dydz=-z_x^{\prime }dxdy$。本题曲面 $z_x^{\prime }=-x/z$，代入后 $-z_x^{\prime }=x/z$，把正负号处理对，选项自然确定；区域限制 $x\le 0,y\ge 0$ 不改变被积表达式的形式，只是干扰项。

本题考查两类曲面积分之间的联系：
$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,$$
其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为有向曲面 $\Sigma$ 的法向量方向余弦。

$\Sigma$ 取上侧，法向量 $\mathbf{n}=(-z_x^{\prime },-z_y^{\prime },1)$，方向余弦
$$\cos \alpha =\frac{-z_x^{\prime }}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}},\cos \beta =\frac{-z_y^{\prime }}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}},\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}}.$$
故 $dydz=-z_x^{\prime }dxdy$，$dzdx=-z_y^{\prime }dxdy$。

由 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 得 $z_x^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}=-\frac{x}{z}$，$z_y^{\prime }=-\frac{y}{z}$。于是
$${\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx={\iint }_{\Sigma }[P(-z_x^{\prime })+Q(-z_y^{\prime })]dxdy={\iint }_{\Sigma }\left(\frac{x}{z}P+\frac{y}{z}Q\right)dxdy.$$
应选 A。