2024 年考研数学（一） 第 1 题

看到“变限积分定义的函数判断奇偶性”，第一反应是算 $f(-x)$ 并用换元 $u=-t$ 把负号转到被积函数里；$e^{\cos t}$ 因 $\cos$ 为偶而不变号，得 $f(-x)=-f(x)$。$g$ 是“变限积分再复合 $\sin x$”，所以拆成外层奇函数 $h$ 与内层奇函数 $\sin x$ 的复合来判断。周期性只需注意导数恒正即单调，可直接排除。

本题考查变限积分所定义函数的奇偶性与周期性。

分析 $f(x)$。 作换元 $u=-t$：
$$f(-x)={\int }_0^{-x}{e}^{\cos t}dt\stackrel{u=-t}{\to }-{\int }_0^x{e}^{\cos u}du=-f(x),$$
（用到 $\cos t$ 为偶函数）故 $f(x)$ 为奇函数。又 $f^{\prime }(x)=e^{\cos x}>0$，$f$ 严格单调增加，不可能是周期函数。

分析 $g(x)$。 记 $h(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$，同理 $h(x)$ 为奇函数，而 $g(x)=h(\sin x)$，于是
$$g(-x)=h(\sin (-x))=h(-\sin x)=-h(\sin x)=-g(x),$$
故 $g(x)$ 也是奇函数。

综上，$f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数，应选 C。