2024 年考研数学（一） 第 21 题

线性递推组 ${\alpha }_n=A{\alpha }_{n-1}$ 迭代成 ${\alpha }_n=A^n{\alpha }_0$，核心落在求 $A^n$——三阶矩阵求幂首选对角化 $A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$。本题特征值 $-2,1,0$ 互异必可对角化，${\Lambda }^n$ 只需把各特征值乘方；最后与初值 ${\alpha }_0$ 相乘得数列通项，注意 $0$ 特征值使 $z_n$ 迅速稳定为常数。

求矩阵 $A$。 由递推关系写成矩阵形式 ${\mathbf{\alpha }}_n=A{\mathbf{\alpha }}_{n-1}$，得
$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 0& -2& -2\\ -6& -3& 3\end{array}\right).$$

求特征值。
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2& 0& -2\\ 0& \lambda +2& 2\\ 6& 3& \lambda -3\end{array}\right|=(\lambda +2)[(\lambda +2)(\lambda -3)+6]=\lambda (\lambda -1)(\lambda +2),$$
故 $A$ 的特征值为 $-2,1,0$。

求特征向量。 解得属于 $-2,1,0$ 的特征向量分别为
$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right).$$
令 $P=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 2& -2& -1\\ 0& 3& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}(-2,1,0)$，且
$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -2& -1& 1\\ 6& 3& -2\end{array}\right).$$

求 $A^n$。 由 $A^n=P{\Lambda }^n{P}^{-1}$（注意 $1^n=1,0^n=0$，$n\ge 1$）得
$$A^n=\left(\begin{array}{ccc}(-1{)}^{n-1}{2}^n-4& (-1{)}^{n-1}{2}^n-2& 2\\ (-1{)}^n{2}^{n+1}+4& (-1{)}^n{2}^{n+1}+2& -2\\ -6& -3& 3\end{array}\right).$$

求通项。 与其把 $A^n$ 整个乘上去，不如把 ${\mathbf{\alpha }}_0$ 先按特征向量展开，这样每一项各自带自己的特征值。解 ${\mathbf{\alpha }}_0=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+k_3{\mathbf{\xi }}_3$，即 $(k_1,k_2,k_3{)}^{\mathrm{T}}=P^{-1}{\mathbf{\alpha }}_0$：
$$P^{-1}{\mathbf{\alpha }}_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -2& -1& 1\\ 6& 3& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ -10\end{array}\right),$$
于是 ${\mathbf{\alpha }}_0=-{\mathbf{\xi }}_1+4{\mathbf{\xi }}_2-10{\mathbf{\xi }}_3$。每次乘 $A$ 只是给各项乘上自己的特征值 $-2,1,0$，因此对 $n\ge 1$
$${\mathbf{\alpha }}_n=A^n{\mathbf{\alpha }}_0=-(-2{)}^n{\mathbf{\xi }}_1+4\cdot 1^n{\mathbf{\xi }}_2-10\cdot 0^n{\mathbf{\xi }}_3=-(-2{)}^n{\mathbf{\xi }}_1+4{\mathbf{\xi }}_2.$$
特征值 $0$ 那一项在 $n\ge 1$ 时直接消失，这正是通项如此简洁的原因。代入 ${\mathbf{\xi }}_1=(-1,2,0{)}^{\mathrm{T}}$、${\mathbf{\xi }}_2=(2,-2,3{)}^{\mathrm{T}}$，得
$${\mathbf{\alpha }}_n=-(-2{)}^n\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right)+4\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-2{)}^n+8\\ -2(-2{)}^n-8\\ 12\end{array}\right),$$
即
$$x_n=(-2{)}^n+8,y_n=(-2{)}^{n+1}-8,z_n=12.$$
${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ 的第三个分量分别是 $0$ 与 $3$，所以 $z_n$ 与 $n$ 无关，恒为 $4\times 3=12$。

检验. 取 $n=1$：$x_1=-2+8=6$，$y_1=4-8=-4$，$z_1=12$。直接由递推式算：$x_1=-2(-1)+2\cdot 2=6$，$y_1=-2\cdot 0-2\cdot 2=-4$，$z_1=-6(-1)-3\cdot 0+3\cdot 2=12$，完全一致。