2024 年考研数学（一） 第 20 题

空间封闭曲线的第二型积分，几乎条件反射地用斯托克斯公式转成所张平面块 $\Sigma$ 上的曲面积分。本题妙处在于旋度各分量能提取公因子 $2x-z$，而 $\Sigma$ 恰在平面 $2x-z=1$ 上，公因子直接变常数 $1$；再用平面法向量把曲面积分归结为投影面积。最后把 $z=2x-1$ 代入球面得椭圆，套椭圆面积公式 $\pi ab$ 收尾。

分析： $L$ 是封闭曲线，取其所围平面 $2x-z-1=0$ 上的有界部分为 $\Sigma$，取上侧，则 $L$ 的方向与 $\Sigma$ 的法向量符合右手法则，用斯托克斯公式化为曲面积分。

记所求积分为 $I$，由斯托克斯公式
$$I={\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 6xyz-y{z}^2& 2x^{2}z& xyz\end{array}\right|={\iint }_{\Sigma }(xz-2x^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(6xy-3yz)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z^2-2xz)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

提取公因子 $2x-z$：
$$I={\iint }_{\Sigma }(2x-z)[(-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+3y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y].$$
在 $\Sigma$ 上 $2x-z=1$，故 $I={\iint }_{\Sigma }(-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+3y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

$\Sigma$ 位于平面 $z-2x+1=0$ 上取上侧，法向量可取 $\mathbf{n}=(-2,0,1)$，方向余弦 $\cos \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}},\cos \beta =0,\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{5}}$，故 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z=-2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}x=0$。于是
$$I={\iint }_{\Sigma }[(-x)(-2)+(-z)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\Sigma }(2x-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$
即 $I$ 等于 $\Sigma$ 在 $xOy$ 面上投影区域 $D$ 的面积。

将 $z=2x-1$ 代入 $x^2+y^2+z^2=2x$，得 $5x^2-6x+y^2+1=0$，即
$$\frac{{\left(x-\frac{3}{5}\right)}^2}{\frac{4}{25}}+\frac{y^2}{\frac{4}{5}}=1,$$
这是以 $\left(\frac{3}{5},0\right)$ 为中心、长半轴 $\sqrt{\frac{4}{5}}$、短半轴 $\sqrt{\frac{4}{25}}$ 的椭圆盘，面积为
$$\pi \cdot \sqrt{\frac{4}{5}}\cdot \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{4\sqrt{5}\pi }{25}.$$

结论： $I=\frac{4\sqrt{5}\pi }{25}$。