2024 年考研数学（一） 第 19 题

结论（Ⅰ）左边是“函数减去两端点的线性插值”，这种“端点信息 + $f^{\prime \prime }$ 有界”的估计典型用两端点泰勒展开：在 $0$ 和 $1$ 各展一次，再以 $x$ 和 $1-x$ 加权组合，恰好利用 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)$ 把讨厌的一次项消掉，剩下可被 $|f^{\prime \prime }|\le 1$ 控制的余项。（Ⅱ）只是把（Ⅰ）沿 $[0,1]$ 积分并用绝对值不等式，$\frac{1}{12}$ 正是 ${\int }_0^1\frac{x(1-x)}{2}dx$。

（Ⅰ） 分别将 $f(x)$ 在 $x=0$ 与 $x=1$ 处作一阶泰勒展开：
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_1)}{2}{x}^2,\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$f(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)+\frac{f^{\prime \prime }({\xi }_2)}{2}(x-1{)}^2,\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中 ${\xi }_1$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，${\xi }_2$ 介于 $1$ 与 $x$ 之间。

用 $(2)\times x-(1)\times (x-1)$，并结合 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)$（一次项 $f^{\prime }(0)x(x-1)$ 相消）得
$$f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x+\frac{x(x-1)}{2}[f^{\prime \prime }({\xi }_2)(x-1)-f^{\prime \prime }({\xi }_1)x].$$

于是当 $x\in (0,1)$ 时，利用 $|f^{\prime \prime }(x)|\le 1$：
$$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|=\frac{x(1-x)}{2}|f^{\prime \prime }({\xi }_2)(x-1)-f^{\prime \prime }({\xi }_1)x|\le \frac{x(1-x)}{2}[(1-x)+x]=\frac{x(1-x)}{2}.$$
结论（Ⅰ）得证。

（Ⅱ） 对（Ⅰ）的不等式两端在 $[0,1]$ 上积分。注意
$${\int }_0^1[f(0)(1-x)+f(1)x]\mathrm{d}x=\frac{f(0)+f(1)}{2},{\int }_0^1\frac{x(1-x)}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{12}.$$

再由定积分的性质 $\left|{\int }_0^{1}g\right|\le {\int }_0^1|g|$：
$$\left|{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|\le {\int }_0^1|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|\mathrm{d}x\le {\int }_0^1\frac{x(1-x)}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{12}.$$
结论（Ⅱ）得证。