2024 年考研数学（一） 第 18 题

第一问是套路：曲面 $z=f$ 的切平面法向量取 $(-f_x^{\prime },-f_y^{\prime },1)$，在给定点代入得平面。第二问是“有界闭区域求最值”的标准框架——内部找驻点、边界逐段降为一元问题，再统一比较。承接的关键一步是识别投影区域：切平面 $x+y+z=3$ 与坐标面围成四面体，落到 $xOy$ 面即直角三角形 $D$，随后机械地内部与三条边求值比较即可。

（Ⅰ）求切平面 $T$。 记 $F(x,y,z)=z-f(x,y)$，则
$$F_x^{\prime }=-3x^2+2(x+y),F_y^{\prime }=-3y^2+2(x+y),F_z^{\prime }=1.$$
在点 $(1,1,1)$ 处 $F_x^{\prime }=F_y^{\prime }=F_z^{\prime }=1$，故切平面 $T$ 的方程为 $(x-1)+(y-1)+(z-1)=0$，即
$$x+y+z=3.$$

（Ⅱ） $T$ 与三个坐标平面所围成的有界区域（四面体）在 $xOy$ 面上的投影为
$$D=\{(x,y)\mid x+y\le 3,x\ge 0,y\ge 0\}.$$

求 $D$ 内部驻点。 令 $\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }=3x^2-2(x+y)=0,\\ f_y^{\prime }=3y^2-2(x+y)=0,\end{array}$ 两式相减得 $x^2=y^2$。因 $x\ge 0,y\ge 0$，故 $x=y$。代入 $3x^2-2(x+y)=0$ 得 $3x^2-4x=0$，解得 $x=\frac{4}{3}$（舍 $x=0$）。得驻点 $\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$，
$$f\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)=2\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^3-{\left(\frac{8}{3}\right)}^2+3=\frac{17}{27}.$$

求边界最值。

（ⅰ）边界 $y=0,0\le x\le 3$：$\phi (x)=x^3-x^2+3$，${\phi }^{\prime }(x)=x(3x-2)$，驻点 $x=\frac{2}{3}$，$\phi \left(\frac{2}{3}\right)=\frac{77}{27}$；端点 $\phi (0)=3,\phi (3)=21$。

（ⅱ）边界 $x=0,0\le y\le 3$：与（ⅰ）同理。

（ⅲ）边界 $x+y=3,0\le x\le 3$：$\psi (x)=x^3+(3-x{)}^3-6$，${\psi }^{\prime }(x)=9(2x-3)$，驻点 $x=\frac{3}{2}$，$\psi \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}$；端点 $\psi (0)=\psi (3)=21$。

比较所有候选值。 最大值 $f(3,0)=f(0,3)=21$；最小值 $f\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)=\frac{17}{27}$。

故 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值为 $21$，最小值为 $\frac{17}{27}$。