2024 年考研数学（一） 第 22 题

涉及 $\max$ 的估计量，第一步永远是“最大次序统计量分布 $F_{(n)}=F^n$”，据此求出 $E(X_{(n)})$ 与 $E(X_{(n)}^2)$ 两个矩即够用。无偏是让 $E(T_c)=\theta$ 的一次方程；均方误差 $h(c)$ 展开成开口向上的二次函数，求导置零得最小值点——两问都归结为对 $c$ 的初等运算，关键前置是把两个矩算对。

先求 $Y=X_{(n)}$ 的分布。 由 $X\sim U[0,\theta ]$，其分布函数 $F_X(x)=\frac{x}{\theta }(0\le x<\theta )$。由独立性，当 $0\le y<\theta$ 时
$$F_Y(y)=P\{X_{(n)}\le y\}=[F_X(y){]}^n={\left(\frac{y}{\theta }\right)}^n,$$
求导得密度 $f_Y(y)=\frac{n{y}^{n-1}}{{\theta }^n}(0<y<\theta )$，其余为 $0$。

（Ⅰ）
$$E(T_c)=cE(Y)=c{\int }_0^{\theta }y\cdot \frac{n{y}^{n-1}}{{\theta }^n}\mathrm{d}y=c\cdot \frac{n}{{\theta }^n}\cdot \frac{{\theta }^{n+1}}{n+1}=\frac{cn}{n+1}\theta .$$
若 $T_c$ 为 $\theta$ 的无偏估计，则 $E(T_c)=\theta$，即 $\frac{cn}{n+1}=1$，解得 $c=\frac{n+1}{n}$。

（Ⅱ） 先算 $E(Y^2)={\int }_0^{\theta }{y}^2\cdot \frac{n{y}^{n-1}}{{\theta }^n}\mathrm{d}y=\frac{n}{n+2}{\theta }^2$。展开
$$h(c)=E[(cY-\theta {)}^2]=c^{2}E(Y^2)-2c\theta E(Y)+{\theta }^2=\left(\frac{n}{n+2}{c}^2-\frac{2n}{n+1}c+1\right){\theta }^2.$$

令 $\frac{\mathrm{d}h(c)}{\mathrm{d}c}=\left(\frac{2n}{n+2}c-\frac{2n}{n+1}\right){\theta }^2=0$，解得唯一驻点 $c=\frac{n+2}{n+1}$。又 $h^{\prime \prime }(c)=\frac{2n}{n+2}{\theta }^2>0$，故该点是 $h(c)$ 的最小值点。

结论：（Ⅰ）$c=\frac{n+1}{n}$；（Ⅱ）当 $c=\frac{n+2}{n+1}$ 时 $h(c)$ 最小。