2021 年考研数学（一） 第 7 题

识别信号：四个选项都是“分块矩阵求秩”，且都想凑成 $2r(\mathbf{A})$。核心工具是 $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{A})$ 与“可逆分块初等变换保秩”。多数选项的非对角块能被 $\mathbf{A}$ 或 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 吸收、化成分块对角从而秩为 $2r(\mathbf{A})$；判断的关键是找出那个方向不配、列空间不受 $\mathbf{A}$ 控制的非对角块，用小反例推翻它。

本题考查分块矩阵的运算与秩。 常用结论：分块对角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right)$ 的秩等于 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$；且 $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})$。

选项 A。 由 $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A})$，故左式 $=r(\mathbf{A})+r(\mathbf{A})=2r(\mathbf{A})$，成立。

选项 B。 由 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{A}\mathbf{B}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{B}\\ \mathbf{O}& \mathbf{E}\end{array}\right)$，故其秩 $=2r(\mathbf{A})$，成立。

选项 D。 由 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{B}\mathbf{A}& {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{O}\\ \mathbf{B}& \mathbf{E}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$，故其秩 $=2r(\mathbf{A})$，成立。

选项 C 不成立。 $\mathbf{B}\mathbf{A}$ 的列可由 $\mathbf{B}$ 的列表示，但不一定可由 $\mathbf{A}$ 的列表示。取 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$，$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，则 $\mathbf{B}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，此时 $r\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\mathbf{A}\\ \mathbf{O}& \mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=3$，而 $2r(\mathbf{A})=2$，二者不等。

综上，应选 C。