2021 年考研数学（一） 第 8 题

识别信号：选项都是条件概率之间的蕴含。把它们翻译成独立性/相关性的等价变形，利用独立的对称性（$A,B$ 独立 $\iff$ $A,\bar{B}$ 独立）可确认其中几条恒成立。而形如“由 $A\cup B$ 上的比较去推 $P(A)$ 与 $P(B)$ 的大小”的命题，展开后往往只得到含 $P(AB)$ 的较弱不等式，用极端反例（如 $A=B$）即可检验它是否真成立。

本题考查条件概率与事件独立性。

考察选项 D。 由
$$P(A\mid A\cup B)=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)-P(AB)},P(\bar{A}\mid A\cup B)=\frac{P(B)-P(AB)}{P(A)+P(B)-P(AB)},$$
若 $P(A\mid A\cup B)>P(\bar{A}\mid A\cup B)$，则只能推出 $P(A)>P(B)-P(AB)$，并不能保证 $P(A)>P(B)$。反例：取 $A=B$，则 $P(A\mid A\cup B)=1>0=P(\bar{A}\mid A\cup B)$，但 $P(A)=P(B)$。故 D 为假命题。

其余选项均成立。 A：$P(A)=P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ 给出 $P(AB)=P(A)P(B)$，即 $A,B$ 独立，从而 $A,\bar{B}$ 独立，$P(A\mid \bar{B})=P(A)$。B、C 可由条件概率的等价变形直接验证成立。

综上，应选 D。