2021 年考研数学（一） 第 9 题

识别信号：样本是成对的二元正态 $(X_i,Y_i)$ 且明确给了 $\rho$，这提示 $X$ 与 $Y$ 相关，不能按独立处理。$E(\hat{\theta })$ 由期望线性直接得无偏；关键在方差要保留 $-2\mathrm{Cov}(\bar{X},\bar{Y})$ 项。利用“不同对独立、同对相关”，协方差只来自同下标项，从而含 $\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$，据此锁定选项。

本题考查统计量的计算与无偏估计的概念。

无偏性。 由 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，得
$$E(\hat{\theta })=E(\bar{X}-\bar{Y})={\mu }_1-{\mu }_2=\theta ,$$
故 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的无偏估计。

求方差。 因样本相互独立，当 $i\ne j$ 时 $\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)=0$，故
$$\mathrm{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,Y_i)=\frac{1}{n}\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}{n}.$$
于是
$$D(\hat{\theta })=D(\bar{X})+D(\bar{Y})-2\mathrm{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\frac{{\sigma }_1^2}{n}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}-\frac{2\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}{n}=\frac{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-2\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}{n}.$$

综上，应选 C。