2021 年考研数学（一） 第 10 题

识别信号：题给了拒绝域 $\{\bar{X}>11\}$ 和一个具体真值 $\mu =11.5$，要“第二类错误概率”。第二类错误 = 存伪 = 在 $H_1$ 为真时仍接受 $H_0$，即 $P_{\mu =11.5}\{\bar{X}\le 11\}$。于是把 $\bar{X}$ 按 $N(11.5,4/16)$ 标准化再查标准正态即可，负半轴用 $\Phi (-a)=1-\Phi (a)$ 转换。

本题考查假设检验中的第二类错误。 第二类错误为“存伪”，即“当 $H_0$ 不为真却接受 $H_0$”。

当 $\mu =11.5$ 时 $H_0$ 不为真。由于拒绝域为 $\{\bar{X}>11\}$，故当 $\bar{X}\le 11$ 时不拒绝 $H_0$，此时犯第二类错误，其概率为 $P\{\bar{X}\le 11\}$。

由 $n=16$，$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{4}{16}\right)=N\left(11.5,\frac{1}{4}\right)$，标准化得 $\frac{\bar{X}-11.5}{1/2}\sim N(0,1)$，于是
$$P\{\bar{X}\le 11\}=P\left\{\frac{\bar{X}-11.5}{1/2}\le \frac{11-11.5}{1/2}\right\}=\Phi (-1)=1-\Phi (1).$$
应选 B。