2021 年考研数学（一） 第 11 题

识别信号：被积函数是常数除以判别式为负的二次三项式，标准做法是配方成 $(x+a{)}^2+b^2$ 形，套 $\arctan$ 公式。反常积分的上限用极限处理，$\arctan (x+1)$ 在 $+\infty$ 处趋于 $\frac{\pi }{2}$。

本题考查反常积分的计算。 将分母配方，化为 $\frac{1}{(x+1{)}^2+1}$ 再积分。

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+2x+2}={\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}(x+1)}{(x+1{)}^2+1}=\arctan (x+1){|}_0^{+\infty }=\frac{\pi }{2}-\arctan 1=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}.$$