2021 年考研数学（一） 第 12 题

识别信号：$x,y$ 均由参数 $t$ 给出，二阶导不能直接对 $x$ 求，必须“先对 $t$ 求导，再除以 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$”。本题的巧处在于 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 化简后恰为 $2t$（分子 $4t{e}^t+2t=2t(2e^t+1)$ 与分母约去），使得二阶导计算变得简单。

本题考查由参数方程确定的函数的导数计算。

由参数方程求导公式，
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{4e^t+4(t-1)e^t+2t}{2e^t+1}=\frac{4t{e}^t+2t}{2e^t+1}=2t.$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{2}{2e^t+1}.$$
代入 $t=0$，得 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=0}=\frac{2}{3}$。