2021 年考研数学（一） 第 13 题

识别信号：各项系数是 $x$ 的对应次幂（$x^2{y}^{\prime \prime },x{y}^{\prime }$），这是欧拉方程的标志。由初值在 $x=1$ 处，取 $x>0$，令 $x=e^t$ 把变系数方程化为常系数方程（特征方程 $r^2-4=0$），求通解后再用两个初始条件确定常数。

本题考查欧拉方程的解法。 由初始条件 $y(1)=1,y^{\prime }(1)=2$ 可知应在 $x>0$ 范围内求解。

令 $x=e^t$，则 $x{y}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$，$x^2{y}^{\prime \prime }=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$。代入原方程得
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-4y=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-4y=0.$$

特征方程 $r^2-4=0$，$r=\pm 2$，故 $y=C_1{e}^{2t}+C_2{e}^{-2t}=C_1{x}^2+C_2{x}^{-2}$，$y^{\prime }=2C_{1}x-2C_2{x}^{-3}$。

由 $y(1)=1$ 得 $C_1+C_2=1$，由 $y^{\prime }(1)=2$ 得 $2C_1-2C_2=2$。解得 $C_1=1,C_2=0$。故所求解为 $y=x^2$。