2021 年考研数学（一） 第 14 题

识别信号：$\Sigma$ 是闭曲面的外侧，第二类曲面积分转体积分用高斯公式最省事。算出散度 $2x+2y+1$ 后，区域关于 $yOz$、$zOx$ 面对称使 $x,y$ 的积分为零（奇函数在对称域上积分为 $0$），只剩常数项即区域体积，把椭圆柱的底面积乘高即可。

本题考查第二类曲面积分的计算。 空间区域 $\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+4y^2\le 4,0\le z\le 2\}$ 是一个椭圆柱体，底面为椭圆区域 $\left\{(x,y)\mid \frac{x^2}{4}+y^2\le 1\right\}$，面积为 $2\pi$，高为 $2$。

对闭曲面 $\Sigma$（$\Omega$ 的外侧边界）使用高斯公式：
$${\iint }_{\Sigma }{x}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iiint }_{\Omega }(2x+2y+1)\mathrm{d}v.$$

由于 $\Omega$ 关于 $yOz$ 面、$zOx$ 面均对称，${\iiint }_{\Omega }x\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }y\mathrm{d}v=0$，故
$${\iiint }_{\Omega }(2x+2y+1)\mathrm{d}v={\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}v=\Omega \text{ 的体积}=2\pi \times 2=4\pi .$$