2021 年考研数学（一） 第 15 题

识别信号：所求是“第一列各元素代数余子式之和”，联想按列展开定理——${\sum }_i{c}_i{A}_{i1}$ 等于把第一列换成 $(c_1,c_2,c_3{)}^{\mathrm{T}}$ 的行列式，取 $c_i=1$ 即得 $A_{11}+A_{21}+A_{31}$。再借“每行和为 $2$”的条件把各列加到第一列凑出公因子 $2$，把它与 $|\mathbf{A}|$ 联系起来。

本题考查代数余子式与行列式（按列展开定理）。

由于 $\mathbf{A}$ 每行元素之和均为 $2$，将第 $2$、$3$ 列加到第 $1$ 列，得第 $1$ 列元素全为 $2$：
$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}2& a_{12}& a_{13}\\ 2& a_{22}& a_{23}\\ 2& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 1& a_{22}& a_{23}\\ 1& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=2(A_{11}+A_{21}+A_{31}).$$
（最后一步为按第 $1$ 列展开，各元素均为 $1$。）

又 $|\mathbf{A}|=3$，所以 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=\frac{3}{2}$。