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2021 年考研数学（一）第 16 题

填空题 · 5 分

甲、乙两个盒子中各装有

2

个红球和

2

个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令

X, Y

分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则

X

与

Y

的相关系数为 ______.

提示 1

X

、

Y

都只取

0

、

1

，先分别求它们的分布（

Y

用全概率公式，条件在

X

的取值上）。

提示 2

因取值是

0/1

，

E (X Y) = P {X = 1, Y = 1} = P {Y = 1 ∣ X = 1} P {X = 1}

，很好算。

提示 3

代入

ρ = \frac{E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )}{D ( X ) D ( Y )}

。

答案与详解

答案 $\frac{1}{5}$

思路（为什么这么做）

识别信号：先取后放再取，

Y

的分布依赖

X

，用全概率公式与条件概率是自然选择。

X, Y

均为

0

-

1

变量，期望、方差都好算，且

E (X Y)

直接等于

P {X = 1, Y = 1}

，于是按相关系数定义

ρ = Cov / (σ_{X} σ_{Y})

逐项代入即可。

解答

本题考查相关系数的计算。 相关系数

ρ = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} = \frac{E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )}{D ( X ) D ( Y )}

。

X

取值

0, 1

，

P {X = 0} = P {X = 1} = \frac{1}{2}

，故

E (X) = \frac{1}{2}

，

E (X^{2}) = \frac{1}{2}

，

D (X) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

。

Y

取值

0, 1

。若甲盒取出白球（

X = 0

），乙盒变为

2

红

3

白，

P {Y = 1 ∣ X = 0} = \frac{2}{5}

；若甲盒取出红球（

X = 1

），乙盒变为

3

红

2

白，

P {Y = 1 ∣ X = 1} = \frac{3}{5}

。由全概率公式

P {Y = 1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2},

故

E (Y) = \frac{1}{2}

，

D (Y) = \frac{1}{4}

。

X Y

取值

0, 1

，

P {X Y = 1} = P {X = 1, Y = 1} = P {Y = 1 ∣ X = 1} P {X = 1} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}

，故

E (X Y) = \frac{3}{10}

。

因此

ρ = \frac{E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )}{D ( X ) D ( Y )} = \frac{\frac{3}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1/20}{1/4} = \frac{1}{5} .

考点：协方差与相关系数、数学期望、全概率公式与贝叶斯公式

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