2021 年考研数学（一） 第 6 题

识别信号：给的递推式与“两两正交”的要求，恰好是施密特正交化的定义。因此不必解一般方程组——把 ${\mathbf{\beta }}_3$ 分别与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 做内积并令其为零，系数 $l_i$ 就是 ${\mathbf{\alpha }}_3$ 在 ${\mathbf{\beta }}_i$ 上的投影系数，先求出 ${\mathbf{\beta }}_2$ 再代入即可。

本题考查施密特正交化。 由题设条件可知 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 恰是对 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 施密特正交化所得的向量组，其中 $l_1=\frac{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3)}{\Vert {\mathbf{\beta }}_1{\Vert }^2}$，$l_2=\frac{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)}{\Vert {\mathbf{\beta }}_2{\Vert }^2}$。

${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；
$${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)}{\Vert {\mathbf{\beta }}_1{\Vert }^2}{\mathbf{\beta }}_1=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}-\frac{2}{2}(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}=(0,2,0{)}^{\mathrm{T}}.$$

于是
$$l_1=\frac{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3)}{\Vert {\mathbf{\beta }}_1{\Vert }^2}=\frac{1\cdot 3+0\cdot 1+1\cdot 2}{2}=\frac{5}{2},l_2=\frac{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)}{\Vert {\mathbf{\beta }}_2{\Vert }^2}=\frac{0\cdot 3+2\cdot 1+0\cdot 2}{4}=\frac{1}{2}.$$
因此 $l_1=\frac{5}{2},l_2=\frac{1}{2}$，应选 A。