2021 年考研数学（一） 第 5 题

识别信号：二次型表面是三个平方之差，容易误判惯性指数，但 $x_3-x_1=(x_2+x_3)-(x_1+x_2)=y_2-y_1$ 说明三项线性相关。惯性指数在可逆线性变换下不变，故先换元 $y_1=x_1+x_2,y_2=x_2+x_3$ 暴露真实结构（得 $2y_1{y}_2$），再配方化成标准形，据正负平方项个数读出正、负惯性指数。

本题考查二次型的正、负惯性指数。 二次型经可逆线性变换化为标准形，正、负惯性指数不变。

令 $\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2,\\ y_2=x_2+x_3,\\ y_3=x_3,\end{array}$ 则 $x_3-x_1=y_2-y_1$，该变换可逆。二次型化为
$$g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2-(y_2-y_1{)}^2=2y_1{y}_2.$$

再令 $\{\begin{array}{l}{y}_1=z_1+z_2,\\ y_2=z_1-z_2,\\ y_3=z_3,\end{array}$ 则 $g$ 化为
$$h(z_1,z_2,z_3)=2(z_1+z_2)(z_1-z_2)=2z_1^2-2z_2^2.$$
故一个标准形为 $2z_1^2-2z_2^2$，正、负惯性指数分别为 $1,1$。应选 B。