2021 年考研数学（一） 第 4 题

识别信号：选项都是“和式的极限”，本质是定积分定义（黎曼和）。破题的关键量是系数 $\Delta x$——它决定和式积出来是几倍的积分。把 $[0,1]$ 作 $n$ 等分、取中点 $\frac{2k-1}{2n}$、区间长 $\frac{1}{n}$，与各选项对照，系数或分点不匹配的都会得到 $\frac{1}{2}$、$2$、$4$ 倍而非 $1$ 倍。

本题考查定积分的定义。 因 $f(x)$ 连续，故 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 存在，可将 $[0,1]$ 划分并写成 $n$ 项和式的极限。

将 $[0,1]$ 分为 $n$ 等份，每个小区间为 $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$，取中点 $\frac{2k-1}{2n}$ 作为 ${\xi }_k$，小区间长度为 $\frac{1}{n}$，则
$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\cdot \frac{1}{n}.$$
应选 B。

其余选项均不正确：A 中系数为 $\frac{1}{2n}$，等于 $\frac{1}{2}{\int }_0^{1}f\mathrm{d}x$；C 为 $2{\int }_0^{1}f\mathrm{d}x$；D 为 $4{\int }_0^{1}f\mathrm{d}x$。