2021 年考研数学（一） 第 3 题

识别信号：函数是“标准展开的乘积”。直接对 $\frac{\sin x}{1+x^2}$ 求三阶导既繁又易错，而分子 $\sin x$、分母倒数 $\frac{1}{1+x^2}$ 都有现成的麦克劳林展开，相乘后按幂次收集系数即得泰勒多项式，这正是“用已知展开做乘法”的思路。

本题考查泰勒多项式的计算。 将分子、分母分别展开到足够阶次后相乘即可。

由于 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+o(x^2)$，故
$$\frac{\sin x}{1+x^2}=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)\left(1-x^2+o(x^2)\right)=x-x^3-\frac{x^3}{6}+o(x^3)=x-\frac{7x^3}{6}+o(x^3).$$

因此 $\frac{\sin x}{1+x^2}$ 在 $x=0$ 处的 $3$ 次泰勒多项式为 $x-\frac{7x^3}{6}$，即 $a=1,b=0,c=-\frac{7}{6}$。应选 A。