2021 年考研数学（一） 第 2 题

识别信号：全微分 $\mathrm{d}f(1,1)=f_1^{\prime }\mathrm{d}x+f_2^{\prime }\mathrm{d}y$，问题归结为求两个一阶偏导在 $(1,1)$ 的值。已知给的是“把内层函数代入后关于 $x$ 的表达式”，因此两边对 $x$ 求导（链式法则）最自然；再选取使内层点落在 $(1,1)$ 的 $x$（即 $x=0$ 与 $x=1$）代入，两个方程恰好线性地锁定两个未知偏导。

本题考查全微分的概念与多元复合函数偏导数的计算。 要求 $\mathrm{d}f(1,1)$，需先求出 $f_1^{\prime }(1,1)$ 与 $f_2^{\prime }(1,1)$，这两个偏导数可通过对已知等式两端关于 $x$ 求导并代值得到。

由全微分定义，$\mathrm{d}f(1,1)=f_1^{\prime }(1,1)\mathrm{d}x+f_2^{\prime }(1,1)\mathrm{d}y.$

对 $f(x+1,e^x)=x(x+1{)}^2$、$f(x,x^2)=2x^2\ln x$ 两端关于 $x$ 求导：
$$f_1^{\prime }(x+1,e^x)+f_2^{\prime }(x+1,e^x)\cdot e^x=(x+1{)}^2+x\cdot 2(x+1)=(x+1)(3x+1),(1)$$
$$f_1^{\prime }(x,x^2)+f_2^{\prime }(x,x^2)\cdot 2x=4x\ln x+2x^2\cdot \frac{1}{x}=2x(2\ln x+1).(2)$$

在 (1) 式中令 $x=0$，得 $f_1^{\prime }(1,1)+f_2^{\prime }(1,1)=1$；在 (2) 式中令 $x=1$，得 $f_1^{\prime }(1,1)+2f_2^{\prime }(1,1)=2$。联立解得 $f_1^{\prime }(1,1)=0$，$f_2^{\prime }(1,1)=1$。

因此 $\mathrm{d}f(1,1)=\mathrm{d}y$，应选 C。