2021 年考研数学（一） 第 1 题

识别信号：分段函数在分界点处判断连续/可导，必须回到定义，不能用商的求导公式。先查连续（极限是否等于函数值），再用导数定义查可导。关键是算 $f^{\prime }(0)=\lim \frac{e^x-1-x}{x^2}$ 时，$e^x-1\sim x$ 已不够精细，须展开到 $x^2$；一旦得到 $f^{\prime }(0)\ne 0$，取极值的必要条件不满足，极大/极小选项自然被否。

本题考查分段函数在分界点处的连续性与可导性。

连续性。 由 $e^x-1\sim x(x\to 0)$，
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x}=1=f(0),$$
故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。

可导性。 按定义
$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^x-1}{x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}.$$
利用 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$。故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且导数不为 $0$。

由于 $f^{\prime }(0)\ne 0$，$x=0$ 不满足取极值的必要条件，故 A、B 均不正确。综上，应选 D。