2019 年考研数学（一） 第 9 题

见到 $f$ 只说“可导”而不给具体表达式，就把 $f^{\prime }$ 当成一个整体符号处理，链式法则里内层导数分别是 $-\cos x$ 与 $\cos y$。题目故意用 $\frac{1}{\cos x}$、$\frac{1}{\cos y}$ 去配，正是让含 $f^{\prime }$ 的项两两抵消，所以答案里 $f^{\prime }$ 全部消失，只剩 $xy$ 求导贡献的部分。

本题考查多元复合函数求偏导数。 记 $u=\sin y-\sin x$。

对 $x,y$ 分别求偏导：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\cos x\cdot f^{\prime }(\sin y-\sin x)+y,$$
$$\frac{\partial z}{\partial y}=\cos y\cdot f^{\prime }(\sin y-\sin x)+x.$$

于是
$$\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\cos y}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=[-f^{\prime }+\frac{y}{\cos x}]+[f^{\prime }+\frac{x}{\cos y}]=\frac{y}{\cos x}+\frac{x}{\cos y}.$$
故应填 $\frac{y}{\cos x}+\frac{x}{\cos y}$。