2019 年考研数学（一） 第 10 题

看到 $2y{y}^{\prime }$ 就要联想 $\frac{d}{dx}(y^2)=2y{y}^{\prime }$，这是把非线性方程线性化的关键代换 $u=y^2$；也可直接分离变量成 $\frac{2ydy}{y^2+2}=dx$。积分得 $\ln (y^2+2)=x+C$，最后由 $y(0)=1>0$ 决定开方取正号。

本题考查可化为可分离变量（或一阶线性）的微分方程求特解。

由 $2y{y}^{\prime }-y^2-2=0$ 得 $\frac{2y\mathrm{d}y}{y^2+2}=\mathrm{d}x$，两边积分得
$$\ln (y^2+2)=x+C.$$

由 $y(0)=1$ 得 $C=\ln 3$，即 $\ln (y^2+2)=\ln (3e^x)$，故 $y^2+2=3e^x$。

由初值 $y(0)=1>0$ 取正根，得 $y=\sqrt{3e^x-2}$。