2019 年考研数学（一） 第 11 题

系数含 $\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}$ 是 $\cos$ 展开式的鲜明标志，所以思路是“向已知展开式靠拢”而非硬求和。$\cos t$ 的幂是 $t^{2n}$，而题中是 $x^n$，于是在 $x>0$ 时用 $t=\sqrt{x}$ 令 $t^{2n}=x^n$，直接读出和函数。

本题考查利用已知函数的幂级数展开式求和函数。 回顾 $\cos t=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{t}^{2n}$。

当 $x>0$ 时，令 $t=\sqrt{x}$，则 $x^n=(\sqrt{x}{)}^{2n}$，于是
$$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}(\sqrt{x}{)}^{2n}=\cos \sqrt{x}.$$

故在 $(0,+\infty )$ 内 $S(x)=\cos \sqrt{x}$。