2019 年考研数学（一） 第 12 题

$\iint \cdots \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 型曲面积分的标准路子是投影到 $xOy$ 面化为二重积分，而被积函数恰是曲面方程的组合，提示先用约束 $x^2+y^2+4z^2=4$ 化简。代入得 $\sqrt{4-x^2-4z^2}=|y|$，问题就退化为圆盘上 $|y|$ 的二重积分，用对称性和极坐标收尾。

本题考查对坐标的曲面积分化为二重积分。 关键是利用曲面方程化简被积函数。

在 $\Sigma$ 上有 $x^2+y^2+4z^2=4$，即 $4-x^2-4z^2=y^2$，故 $\sqrt{4-x^2-4z^2}=|y|$。于是
$${\iint }_{\Sigma }\sqrt{4-x^2-4z^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{\Sigma }|y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

$\Sigma$ 取上侧，投影到 $xOy$ 面上的区域为 $D_{xy}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$，故
$${\iint }_{\Sigma }|y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_{xy}}|y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

由对称性并化为极坐标：
$${\iint }_{D_{xy}}|y|\mathrm{d}x\mathrm{d}y=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^2(r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta =4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \mathrm{d}\theta {\int }_0^2{r}^2\mathrm{d}r=4\cdot 1\cdot \frac{8}{3}=\frac{32}{3}.$$
故应填 $\frac{32}{3}$。