2019 年考研数学（一） 第 13 题

$Ax=0$ 的解向量恰是列向量 ${\alpha }_i$ 的线性组合系数，所以求解等价于寻找 $\alpha$ 之间的零线性关系。${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 无关且 ${\alpha }_3$ 可由其表示 $\Rightarrow r(A)=2$，基础解系只含 $1$ 个向量；把 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 移项成 ${\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$，系数即为所求。

本题考查齐次线性方程组的通解与基础解系。

因为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，且 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 可由它们线性表示，所以 $r(A)=2$，方程组 $Ax=0$ 的基础解系含 $3-2=1$ 个线性无关的解向量。

由 ${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2$ 得 ${\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3=0$，即 $(1,-2,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $Ax=0$ 的一个非零解。

故 $Ax=0$ 的通解为 $x=k\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$（$k$ 为任意常数）。