2019 年考研数学（一） 第 14 题

这是“随机变量函数的概率”问题，先把 $E(X)$、$F(x)$ 这两个确定量算清楚，再处理随机部分。难点在于 $F(X)$ 是把随机变量代入自身的分布函数，需用 $F(X)=\frac{X^2}{4}$ 把事件 $\{F(X)>\frac{1}{3}\}$ 翻译成关于 $X$ 的普通区间，最后用密度积分求概率。

本题考查连续型随机变量的分布函数、数学期望及随机变量函数的概率计算。

先求期望与分布函数：
$$E(X)={\int }_0^{2}x\cdot \frac{x}{2}\mathrm{d}x=\frac{4}{3},$$
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ \frac{x^2}{4},& 0\le x<2,\\ 1,& x\ge 2.\end{array}$$

于是 $E(X)-1=\frac{1}{3}$，从而
$$P\{F(X)>E(X)-1\}=P\left\{F(X)>\frac{1}{3}\right\}=1-P\left\{F(X)\le \frac{1}{3}\right\}.$$
当 $0\le X<2$ 时 $F(X)=\frac{X^2}{4}$，故
$$P\left\{F(X)\le \frac{1}{3}\right\}=P\left\{\frac{X^2}{4}\le \frac{1}{3}\right\}=P\left\{X\le \frac{2}{\sqrt{3}}\right\}={\int }_0^{\frac{2}{\sqrt{3}}}\frac{x}{2}\mathrm{d}x=\frac{x^2}{4}{|}_0^{\frac{2}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{3}.$$

所以 $P\{F(X)>E(X)-1\}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。