2019 年考研数学（一） 第 15 题

方程形如 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ 是一阶线性的标志，用积分因子法；这里积分因子 $e^{x^2/2}$ 恰与右端 $e^{-x^2/2}$ 相乘为 $1$，使积分变得平凡，解出 $y=x{e}^{-x^2/2}$。第（Ⅱ）问是常规的凹凸/拐点分析，核心是算 $y^{\prime \prime }$、找零点、判符号变化。

本题考查一阶线性微分方程求特解，以及利用二阶导数判定曲线的凹凸性与拐点。

（Ⅰ）求 $y(x)$。 方程 $y^{\prime }+xy=e^{-\frac{x^2}{2}}$ 为一阶线性方程，由通解公式
$$y=\left(\int e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot e^{\int x\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)e^{-\int x\mathrm{d}x}=\left(\int e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x+C\right)e^{-\frac{x^2}{2}}=(x+C)e^{-\frac{x^2}{2}}.$$
由 $y(0)=0$ 得 $C=0$，故 $y=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$。

（Ⅱ）凹凸区间与拐点。 求导：
$$y^{\prime }=(1-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}},y^{\prime \prime }=(x^3-3x)e^{-\frac{x^2}{2}}=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})e^{-\frac{x^2}{2}}.$$
令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=-\sqrt{3},x=0,x=\sqrt{3}$。

讨论 $y^{\prime \prime }$ 的符号：当 $x\in (-\infty ,-\sqrt{3})$ 时 $y^{\prime \prime }<0$；当 $x\in (-\sqrt{3},0)$ 时 $y^{\prime \prime }>0$；当 $x\in (0,\sqrt{3})$ 时 $y^{\prime \prime }<0$；当 $x\in (\sqrt{3},+\infty )$ 时 $y^{\prime \prime }>0$。

故曲线 $y=x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ 的凸区间（$y^{\prime \prime }<0$）为 $(-\infty ,-\sqrt{3})$ 及 $(0,\sqrt{3})$；凹区间（$y^{\prime \prime }>0$）为 $(-\sqrt{3},0)$ 及 $(\sqrt{3},+\infty )$。二阶导数在这三点处均变号，拐点为
$$\left(-\sqrt{3},-\sqrt{3}{e}^{-\frac{3}{2}}\right),(0,0),\left(\sqrt{3},\sqrt{3}{e}^{-\frac{3}{2}}\right).$$