2019 年考研数学（一） 第 16 题

题眼是“沿某方向的方向导数最大、最大值已知”，这正对应梯度：梯度指向方向导数最大的方向，其模就是那个最大值。于是“同向”给出 $a,b$ 的比例关系、“模为 $10$”给出大小，联立并要求分量为负（与 $l$ 同向），定出 $a=b=-1$。第（Ⅱ）问是第一型曲面面积公式的直接套用。

本题考查梯度与方向导数（梯度方向即方向导数取最大值的方向，其模为最大方向导数），以及曲面面积的计算。

（Ⅰ）求 $a,b$。 $\mathrm{grad}z=\{2ax,2by\}$，在点 $(3,4)$ 处 $\mathrm{grad}z{|}_{(3,4)}=\{6a,8b\}$。因为梯度的方向即为方向导数最大的方向，它与 $l=\{-3,-4\}$ 同向，所以
$$\frac{6a}{-3}=\frac{8b}{-4}\Rightarrow a=b.$$
又最大方向导数等于梯度的模，$\sqrt{(6a{)}^2+(8b{)}^2}=\sqrt{36a^2+64b^2}=10$，结合 $a=b$ 得 $\sqrt{100a^2}=10$，即 $|a|=1$。因梯度须与 $l$ 同向（分量为负），取 $a=b=-1$。

（Ⅱ）曲面面积。 此时曲面为 $\Sigma :z=2-x^2-y^2$。由 $z\ge 0$ 得投影区域 $D_{xy}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2\}$。因 $z_x^{\prime }=-2x,z_y^{\prime }=-2y$，面积为
$$S={\iint }_{D_{xy}}\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_{xy}}\sqrt{1+4x^2+4y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

化为极坐标：
$$S=2\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}r\sqrt{1+4r^2}\mathrm{d}r=\frac{\pi }{4}{\int }_0^{\sqrt{2}}(1+4r^2{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(1+4r^2)=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{2}{3}(1+4r^2{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{6}(27-1)=\frac{13}{3}\pi .$$