2019 年考研数学（一） 第 17 题

求“曲线与 $x$ 轴之间”的面积要算 $|y|$ 的积分，而 $|\sin x|$ 通过按半周期分段、每段 $\sin x$ 定号来消除。每段用分部积分（或公式）得到含 $e^{-k\pi }$ 的项，这些项构成等比级数，最后用等比求和收尾——所以本题是“定积分 + 无穷级数”的综合。

本题考查定积分的几何应用（面积）与反常积分、级数求和。 曲线在各半周期上正负交替，面积为 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}|\sin x|\mathrm{d}x$。

在 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上 $\sin x$ 符号为 $(-1{)}^k$，故
$$A={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}|\sin x|\mathrm{d}x=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }{e}^{-x}\sin x\mathrm{d}x.$$

利用 $\int e^{-x}\sin x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C$，在 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上
$${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }{e}^{-x}\sin x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}{e}^{-x}(\sin x+\cos x){|}_{k\pi }^{(k+1)\pi }=\frac{(-1{)}^k}{2}\left(e^{-(k+1)\pi }+e^{-k\pi }\right),$$
于是各项乘以 $(-1{)}^k$ 后为 $\frac{1}{2}\left(e^{-(k+1)\pi }+e^{-k\pi }\right)$。

从而
$$A=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\left(e^{-(k+1)\pi }+e^{-k\pi }\right)=\frac{1}{2}\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }{e}^{-k\pi }\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2e^{-\pi }}{1-e^{-\pi }}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{e^{\pi }-1}\right).$$

故所求面积为 $A=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}$。