2019 年考研数学（一） 第 8 题

关键性质是“独立正态的线性组合仍是正态”，于是 $X-Y\sim N(0,2{\sigma }^2)$——注意均值自动变为 $0$，$\mu$ 已经消失。把概率标准化为 $2\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right)-1$ 后只剩 $\sigma$，所以结论是与 $\mu$ 无关、与 ${\sigma }^2$ 有关。

本题考查独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。

因为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，且 $X,Y$ 相互独立，所以
$$X-Y\sim N(0,2{\sigma }^2),\frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1).$$

于是
$$P\{|X-Y|<1\}=P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }<\frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma }<\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right\}=2\Phi \left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma }\right)-1.$$

该结果只依赖 $\sigma$，与 $\mu$ 无关，而与 ${\sigma }^2$ 有关，应选 A。