2019 年考研数学（一）第 7 题

选择题 · 4 分

设

A, B

为随机事件，则

P (A) = P (B)

的充分必要条件是（　　）

提示 1

目标是把

P (A) = P (B)

变形成选项里出现的概率表达式，回忆概率的减法公式。

提示 2

用

P (A \overline{B}) = P (A) - P (A B)

、

P (B \overline{A}) = P (B) - P (A B)

把

P (A)

、

P (B)

拆开。

提示 3

两式都含相同的

P (A B)

，比较后看

P (A) = P (B)

恰好对应哪个等式。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

要找充要条件，就把已知等式

P (A) = P (B)

往选项形式上“等价改写”。减法公式让两边都减去公共的

P (A B)

，于是

P (A) = P (B)

与

P (A \overline{B}) = P (B \overline{A})

完全等价；其余选项分别对应独立、互斥等条件，用定义逐个否掉即可。

解答

本题考查概率的减法公式与充要条件的判断。

由减法公式

P (A \overline{B}) = P (A) - P (A B), P (B \overline{A}) = P (B) - P (A B) .

于是

P (A) = P (B)

当且仅当

P (A) - P (A B) = P (B) - P (A B)

，即

P (A \overline{B}) = P (B \overline{A})

。这恰为选项 C。

其余选项均不是

P (A) = P (B)

的充要条件。故应选 C。

2019 年考研数学（一） 第 7 题