2019 年考研数学（一） 第 6 题

空间中平面的相互位置是“方程组解的存在性”的几何版本，所以先把图形语言翻译成秩的语言。两两不平行 $\Rightarrow r(A)\ge 2$；三线平行且无公共交点 $\Rightarrow$ 方程组无解 $\Rightarrow r(A)<r(\overline{A})$。两条信息一夹，秩只能是 $r(A)=2,r(\overline{A})=3$。

本题考查线性方程组解的判定与秩的几何意义。 三张平面的位置关系由 $r(A)$ 与 $r(\overline{A})$ 决定。

记
$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right),\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& d_1\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& d_2\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& d_3\end{array}\right).$$

因为任意两个平面都不平行（两两相交），所以任两行的法向量不成比例，$r(A)\ge 2$；又因为三条交线互相平行，三个平面没有公共交点，方程组无解，故 $r(A)<r(\overline{A})$。再由 $r(\overline{A})\le 3$，只能 $r(A)=2,r(\overline{A})=3$。

故应选 A。