2019 年考研数学（一） 第 5 题

求规范形本质是求正负惯性指数，而实对称矩阵的惯性指数由特征值符号决定，所以核心是求特征值。看到矩阵满足多项式方程 $A^2+A=2E$，就用“特征值满足同一多项式”把 $\lambda$ 限定在 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$ 的根上；再借“行列式等于特征值之积”这一约束，唯一确定各特征值的重数。

本题考查由特征值确定二次型的规范形（正、负惯性指数）。 关键是由矩阵方程求出 $A$ 的特征值，再由行列式确定各特征值的重数。

设 $Ax=\lambda x(x\ne 0)$。由 $A^2+A=2E$ 得 $(A^2+A-2E)x=({\lambda }^2+\lambda -2)x=0$，故 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$，即 $\lambda =-2$ 或 $\lambda =1$。

又 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=4$。若三个特征值取自 $\{1,-2\}$，只有 $1\cdot (-2)\cdot (-2)=4$ 满足，故 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2={\lambda }_3=-2$。

于是正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $2$，二次型 $x^{\mathrm{T}}Ax$ 的规范形为 $y_1^2-y_2^2-y_3^2$，应选 C。