2019 年考研数学（一） 第 4 题

“上半平面内任意封闭曲线积分恒为零”直接指向格林公式下的“积分与路径无关”，其充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。因此把 $Q$ 对 $x$ 求偏导得到目标值 $\frac{1}{y^2}$，再反过来筛选各选项的 $P$，是最省力的验证型思路，不必真去做积分。

本题考查平面曲线积分与路径无关的条件（格林公式）。 在单连通区域 $y>0$ 内，对任意封闭曲线积分为零等价于 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 且 $P,Q$ 连续可偏导。

由 $Q(x,y)=\frac{x}{y^2}$ 得 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{y^2}$，故需 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y^2}$。

逐一验证：对 $P=x-\frac{1}{y}$（选项 D），$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y^2}$，且在上半平面内连续可偏导，满足条件。其余选项的 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 均不等于 $\frac{1}{y^2}$。

故 $P(x,y)$ 可取为 $x-\frac{1}{y}$，应选 D。