2019 年考研数学（一） 第 3 题

关键信号是“单调增加且有界”，立即联想单调有界准则，$u_n$ 有极限 $A$。看到 $\sum (u_{n+1}^2-u_n^2)$ 这种“相邻项之差”，应想到裂项相消（伸缩和），其部分和直接等于 $u_{n+1}^2-u_1^2$，收敛与否一目了然；其余选项用通项极限或与调和级数类比逐一排除。

本题考查常数项级数敛散性的判定（结合单调有界数列的极限）。 由单调有界准则，$\{u_n\}$ 收敛，设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=A$。

分析 D。 其部分和为伸缩和：
$$\sum _{k=1}^n(u_{k+1}^2-u_k^2)=u_{n+1}^2-u_1^2,$$
故
$$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}^2-u_n^2)=\underset{n\to \infty }{\lim }(u_{n+1}^2-u_1^2)=A^2-u_1^2,$$
极限存在，级数收敛。

其余选项一般发散：若 $A\ne 0$，A 项 $\frac{u_n}{n}\sim \frac{A}{n}$ 类比调和级数发散；B 为交错级数但 $\frac{1}{u_n}\to \frac{1}{A}\ne 0$，通项不趋于零；C 的通项 $1-\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}}$ 一般不保证收敛。故均不能保证收敛。

综上，收敛的是 D。