2019 年考研数学（一） 第 2 题

题目在 $x=0$ 处用分段定义、两侧表达式不同，这是“分界点”信号，可导性必须用左、右导数定义逐侧验证而非直接求导。极值与可导性是两个独立问题：即使不可导，只要在去心邻域内 $f(x)$ 恒小于（或恒大于）$f(0)$ 就是极值点，所以第二问改用函数值符号比较最快。

本题考查分段函数在分界点处的可导性与极值判定。 分别用左右导数定义与函数值符号讨论。

可导性。 由
$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }|x|=0,$$
$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty ,$$
右导数不存在，故 $x=0$ 是 $f(x)$ 的不可导点。

极值。 当 $x<0$ 时 $f(x)=x|x|=-x^2<0=f(0)$；当 $0<x<1$ 时 $f(x)=x\ln x<0=f(0)$。故在 $x=0$ 的某去心邻域内均有 $f(x)<f(0)$，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点。

综上，$x=0$ 是 $f(x)$ 的不可导点、极值点，应选 B。