2019 年考研数学（一） 第 1 题

看到“同阶无穷小求阶数”，本质是求差式 $x-\tan x$ 的等价无穷小主部，最省事的工具是泰勒展开。之所以不能只展到一次项，是因为 $\tan x$ 的一次项与前面的 $x$ 相消，必须展到下一个非零项（三次项）才知道真正的阶。也可用洛必达，但要试几次才知道分母配几次方，泰勒更直接。

本题考查无穷小的阶的比较。 只需求出 $x-\tan x$ 的最低次等价无穷小即可。

由泰勒公式 $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)(x\to 0)$，得
$$x-\tan x=-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)\sim -\frac{1}{3}{x}^3.$$
也可用洛必达法则：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\sec }^{2}x}{3x^2}=-\frac{1}{3}$。

故 $x-\tan x$ 是 $3$ 阶无穷小，即 $k=3$，应选 C。